raymondCaptain 2017.11.02

概念

我们假设计算机运行一行基础代码需要执行一次运算。

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int aFunc(void) {
    printf("Hello, World!\n");      //  需要执行 1 次
    return 0;       // 需要执行 1 次
}

那么上面这个方法需要执行 2 次运算

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int aFunc(int n) {
    for(int i = 0; i<n; i++) {         // 需要执行 (n + 1) 次
        printf("Hello, World!\n");      // 需要执行 n 次
    }
    return 0;       // 需要执行 1 次
}

这个方法需要 (n + 1 + n + 1) = 2n + 2 次运算。

时间复杂度: 用来定性的描述算法的执行时间的一个函数,更类似于一个耗时的趋势,函数表示为: O(f(n))

名词解释:

  • n: 问题的规模,重复执行的次数
  • T(n): 一段程序运行,各种操作代码所执行的总次数
  • f(n): 存在的某个函数,使得T(n)/f(n)=非零常数, 那么f(n)称为T(n)的同数量级函数
  • O: 大O符号,一种符号,表示渐进于无穷的行为

穿起来:

算法中各种代码操作所执行的总次数用 T(n) 表示,存在某个函数 f(n) ,使得 T(n)/f(n)=非零常数 ,那么 f(n) 称为 T(n) 的同数量级函数(类想一下,在坐标轴中,当入参n趋于无穷时,两条曲线的商为常数),即: T(n)=O(f(n)),O(f(n)) 就是时间复杂度. O 符号表示一个渐进常数.

常规的代码的算法是有规律的:

  • 看几重循环:只有一重则时间复杂度为O(n)，二重为O(n^2);
  • 如果有二分则为 O(logn)，二分例如快速幂、二分查找，
  • 如果一个for循环套一个二分，那么时间复杂度则为 O(nlogn)。

常见时间复杂度有(按增长率):

  1. 常数阶 O(1)
  2. 对数阶 O(logn)
  3. 线性阶 O(n)
  4. 线性对数阶O(nlog2n)
  5. k方阶: O(n^k),一般控制 k 的大小,否则就和指数阶一样了,这是很可怕的
  6. 指数阶: O(2^n),一般不用,性能太差

计算规则

那么当我们拿到算法的执行次数函数 T(n) 之后怎么得到算法的时间复杂度呢？

省略常数项

我们知道常数项对函数的增长速度影响并不大，所以当 T(n) = c，c 为一个常数的时候，我们说这个算法的时间复杂度为 O(1)；如果 T(n) 不等于一个常数项时，直接将常数项省略。

比如第一个 Hello, World 的例子中 T(n) = 2，所以我们说那个函数(算法)的时间复杂度为 O(1)。T(n) = n + 29，此时时间复杂度为 O(n)。

忽略低次项

我们知道高次项对于函数的增长速度的影响是最大的。n^3 的增长速度是远超 n^2 的，同时 n^2 的增长速度是远超 n 的。 同时因为要求的精度不高，所以我们直接忽略低此项。

比如 T(n) = n^3 + n^2 + 29 ，此时时间复杂度为 O(n^3)。

忽略高阶常数

因为函数的阶数对函数的增长速度的影响是最显著的，所以我们忽略与最高阶相乘的常数。

比如 T(n) = 3n^3，此时时间复杂度为 O(n^3)。

综合起来： 如果一个算法的执行次数是 T(n)，那么只保留最高次项，同时忽略最高项的系数后得到函数 f(n)，此时算法的时间复杂度就是 O(f(n))。为了方便描述，下文称此为 大O推导法。

常见场景

由此可见，由执行次数 T(n) 得到时间复杂度并不困难，很多时候困难的是从算法通过分析和数学运算得到 T(n)。对此，提供下列四个便利的法则，这些法则都是可以简单推导出来的，总结出来以便提高效率。

简单循环

对于一个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，循环次数为 m，则这个 循环的时间复杂度为 O(n×m)。

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void aFunc(int n) {
    for(int i = 0; i < n; i++) {         // 循环次数为 n
        printf("Hello, World!\n");      // 循环体时间复杂度为 O(1)
    }
}

此时时间复杂度为 O(n × 1)，即 O(n)。

多重循环

对于多个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，各个循环的循环次数分别是a, b, c...，则这个循环的时间复杂度为 O(n×a×b×c...)。分析的时候应该由里向外分析这些循环。

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void aFunc(int n) {
    for(int i = 0; i < n; i++) {         // 循环次数为 n
        for(int j = 0; j < n; j++) {       // 循环次数为 n
            printf("Hello, World!\n");      // 循环体时间复杂度为 O(1)
        }
    }
}

此时时间复杂度为 O(n × n × 1)，即 O(n^2)。

多个并列循环

对于顺序执行的语句或者算法，总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。

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void aFunc(int n) {
    // 第一部分时间复杂度为 O(n^2)
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            printf("Hello, World!\n");
        }
    }
    // 第二部分时间复杂度为 O(n)
    for(int j = 0; j < n; j++) {
        printf("Hello, World!\n");
    }
}

此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

条件判断

对于条件判断语句，总的时间复杂度等于其中时间复杂度最大的路径的时间复杂度。

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void aFunc(int n) {
    if (n >= 0) {
        // 第一条路径时间复杂度为 O(n^2)
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                printf("输入数据大于等于零\n");
            }
        }
    } else {
        // 第二条路径时间复杂度为 O(n)
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            printf("输入数据小于零\n");
        }
    }
}

此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

时间复杂度分析的基本策略是：从内向外分析，从最深层开始分析。如果遇到函数调用，要深入函数进行分析。

示例

最后，我们来练习一下

基础题

求该方法的时间复杂度

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void aFunc(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < n; j++) {
            printf("Hello World\n");
        }
    }
}

参考答案：

当 i = 0 时，内循环执行 n 次运算，当 i = 1 时，内循环执行 n - 1 次运算……当 i = n - 1 时，内循环执行 1 次运算。 所以，执行次数 T(n) = n + (n - 1) + (n - 2)……+ 1 = n(n + 1) / 2 = n^2 / 2 + n / 2。 根据上文说的 大O推导法 可以知道，此时时间复杂度为 O(n^2)。

进阶题

求该方法的时间复杂度

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void aFunc(int n) {
    for (int i = 2; i < n; ) {
        i *= 2;
        printf("%i\n", i);
    }
}

参考答案：

假设循环次数为 t，则循环条件满足 2^t < n。 可以得出，执行次数t = log(2)(n)，即 T(n) = log(2)(n)，可见时间复杂度为 O(log(2)(n))，即 O(log n)。

再次进阶

求该方法的时间复杂度

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long aFunc(int n) {
    if (n <= 1) {
        return 1;
    } else {
        return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2);
    }
}

参考答案：

显然运行次数，T(0) = T(1) = 1，同时 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1，这里的 1 是其中的加法算一次执行。

显然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一个斐波那契数列，通过归纳证明法可以证明，当 n >= 1 时 T(n) < (5/3)^n，同时当 n > 4 时 T(n) >= (3/2)^n。

所以该方法的时间复杂度可以表示为 O((5/3)^n)，简化后为 O(2^n)。

可见这个方法所需的运行时间是以指数的速度增长的。如果大家感兴趣，可以试下分别用 1，10，100 的输入大小来测试下算法的运行时间，相信大家会感受到时间复杂度的无穷魅力。

参考文献