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预备知识

堆排序

堆排序是利用 这种数据结构而设计的一种排序算法,堆排序是一种选择排序,它的最坏,最好,平均时间复杂度均为O(nlogn),它也是不稳定排序。首先简单了解下堆结构。

堆是具有以下性质的完全二叉树:每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值,称为大顶堆;或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值,称为小顶堆。如下图:

堆

同时,我们对堆中的结点按层进行编号,将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子

数组

该数组从逻辑上讲就是一个堆结构,我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是:

大顶堆:arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]

小顶堆:arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]

ok,了解了这些定义。接下来,我们来看看堆排序的基本思想及基本步骤:

堆排序基本思想及步骤

堆排序的基本思想是:将待排序序列构造成一个大顶堆,此时,整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换,此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆,这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行,便能得到一个有序序列了

构造初始堆

步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆(一般升序采用大顶堆,降序采用小顶堆)。

  • 假设给定无序序列结构如下

无序结构

  • 此时我们从最后一个非叶子结点开始(叶结点自然不用调整,第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1,也就是下面的 6 结点),从左至右,从下至上进行调整。

调整

  • 找到第二个非叶节点 4,由于[4,9,8]9 元素最大,49交换。

第二个非叶子节点

这时,交换导致了子根[4,5,6]结构混乱,继续调整,[4,5,6]6 最大,交换 46

4节点

此时,我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。

堆定元素与堆尾交换

步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换,使末尾元素最大。然后继续调整堆,再将堆顶元素与末尾元素交换,得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

  • 将堆顶元素 9 和末尾元素 4 进行交换

交换

  • 重新调整结构,使其继续满足堆定义

重新调整

  • 再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换,得到第二大元素8.

再次交换

后续过程,继续进行调整,交换,如此反复进行,最终使得整个序列有序

继续调整

再简单总结下堆排序的基本思路:

  1. 将无需序列构建成一个堆,根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;

  2. 将堆顶元素与末尾元素交换,将最大元素”沉”到数组末端;

  3. 重新调整结构,使其满足堆定义,然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素,反复执行调整+交换步骤,直到整个序列有序。

代码实现

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package sortdemo;

import java.util.Arrays;

/**
 * Created by chengxiao on 2016/12/17.
 * 堆排序demo
 */
public class HeapSort {
    public static void main(String []args){
        int []arr = {9,8,7,6,5,4,3,2,1};
        sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
    public static void sort(int []arr){
        //1.构建大顶堆
        for(int i=arr.length/2-1;i>=0;i--){
            //从第一个非叶子结点从下至上,从右至左调整结构
            adjustHeap(arr,i,arr.length);
        }
        //2.调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素
        for(int j=arr.length-1;j>0;j--){
            swap(arr,0,j);//将堆顶元素与末尾元素进行交换
            adjustHeap(arr,0,j);//重新对堆进行调整
        }

    }

    /**
     * 调整大顶堆(仅是调整过程,建立在大顶堆已构建的基础上)
     * @param arr
     * @param i
     * @param length
     */
    public static void adjustHeap(int []arr,int i,int length){
        int temp = arr[i];//先取出当前元素i
        for(int k=i*2+1;k<length;k=k*2+1){//从i结点的左子结点开始,也就是2i+1处开始
            if(k+1<length && arr[k]<arr[k+1]){//如果左子结点小于右子结点,k指向右子结点
                k++;
            }
            if(arr[k] >temp){//如果子节点大于父节点,将子节点值赋给父节点(不用进行交换)
                arr[i] = arr[k];
                i = k;
            }else{
                break;
            }
        }
        arr[i] = temp;//将temp值放到最终的位置
    }

    /**
     * 交换元素
     * @param arr
     * @param a
     * @param b
     */
    public static void swap(int []arr,int a ,int b){
        int temp=arr[a];
        arr[a] = arr[b];
        arr[b] = temp;
    }
}

结果

1
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

最后

堆排序是一种选择排序,整体主要由 构建初始堆 + 交换堆顶元素和末尾元素并重建堆 两部分组成。其中构建初始堆经推导复杂度为 O(n),在交换并重建堆的过程中,需交换 n-1 次,而重建堆的过程中,根据完全二叉树的性质,[log2(n-1),log2(n-2)…1]逐步递减,近似为nlogn。所以堆排序时间复杂度一般认为就是O(nlogn)级。

作者: dreamcatcher-cx

出处: http://www.cnblogs.com/chengxiao/

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参考文献